應該說，微分和積分為什麼互為逆運算，而且為什麼透過反求導就能求出區域面積，這大概是在學習微積分的時候，很多人最難理解的一個點。

甚至曾經在很早之前，大家都把微分和積分看作是兩個互不關聯，毫不相關的東西去看待，直到後面出現了牛頓和萊布尼茨。

考慮到證明的過程是很難直觀去理解的，所以李縱才舉了這麼一個或許並不太嚴謹，但卻意外好懂的例子，把求積分的圖，當成是瞬間速度變化的圖。

然後求從a到b時間之內，到底走過了多少路程，這是不是就是反求導之後，用大寫的f代表原函式，黃色區域的面積就等於f(b)f(a)。

這正是計算積分十分重要的一個公式，將連續的需要求和的一條條鉛垂線的過程，轉變成了只需要代入邊界的值，一減就能求出面積。

見兩人還在猶豫，李縱也是把路程等於速度乘以時間，面積等於底邊乘以高，兩者都是乘法的這麼一個過程寫了出來，道：“其實我們不必糾結於為什麼路程可以看成是面積。”

“我們只需要知道他們都同樣是乘法運算，而且，都是函式關於一滴滴的單位之內，會得到某個值就行了。”

“而且，如果反過來理解，求積分的這個圖，用微分去表述，就可以是，在一滴滴的時間之內，面積的變化率。”

見兩人還在沉思，李縱便繼續道：“那麼，假設這種想法是對的，我們已經得知，這兩種運算存在著一種互逆的關係，那麼，我們可以怎麼使用這種關係？”

“是不是就可以求積分了，積分原本是要把很多很多的鉛垂線的面積加起來，正常來說，我們人是辦不到的，但是如果能把它轉換為微分時的原函式，積分是不是就可以計算了。”

“直接代入兩個邊界的點，一減，答案不就出來了。b點的里程，比如說15裡，減去a點的里程，比如說10裡，一減，中間的5裡，就是我們走過的路程。”

“那麼問題來了！這個積分的函式，跟它微分時的原函式，到底存在著一種什麼樣的關係。”

“或者說，我現在已經知道了積分的函式了，就是等於y=2x，那麼，微分時的原函式，是什麼？所以是不是就是一次從微分的結果，反推微分的開頭的這麼一個過程。”

“那接下來我們便嘗試著拿一個例子，來求一次微分。”

“比如說原函式y=x2，根據剛剛微分的定義，是不是就可以有以下這個式子：”

圖。

“此式子怎麼理解，剛剛我們是用ta的方式，但這樣顯然是算不出來的，所以我們把t換成x+Δx，代表t比a多了那麼一滴滴增量，但是這個增量又是無限小，我們定義無限小不等於0，但是它無限趨近於0。”

“接下來便可以對式子進行運算。”

圖。

“正如同前面我們說讓t就是等於a，那麼很短很短的時間，也就沒有爭議。這個的Δx，我們把他視為是沒有增量，那麼這條式子最後，微分出來，等於2x也就沒有爭議了。”

“當然，前提是，我們定義了無限小，是趨向於0。”

“這正好就是微分的結果跟原函式。”

“接下來，我們可以代入一些數字來測試一下。”

“首先明確，y=x2是路程關於時間的函式，y=2x是路程變化率，也就是速度關於時間的函式。”

“現在我要求y=2x在某一段時間內走過的路程，即這個函式在給定邊界範圍的面積。”

“就可以變成求出原函式，然後代入邊界，最後y=12=1。”

“而反應在y=2x的這個與x、y邊界所圍成的面積，是不是也是，按照三角形的面積公式，底是1，高是2，1x2÷2=1，也等於1。”

“再代入別的數字，x=2，原函式答案是4，y=2x圍成的面積是，2x4÷2=4，也等於4。”