早晨七點五十分，高數教室。
林澈坐在第三排靠窗的位置，陽光斜照在攤開的空白草稿紙上，泛起一層毛茸茸的金邊。教室裡彌漫著考試前特有的緊張氣息——翻書聲、竊竊私語聲、筆尖劃紙聲，還有前排女生擰開風油精的清脆聲響。
他低頭看著試卷。
《高等數學A（1）第一次月考》，題頭印刷著宋體字。前世，這張卷子他得了61分，擦線及格，主要失分在最後兩道證明題。他還記得趙建國教授批改時用紅筆寫的評語：“思路混亂，基礎不牢，建議課後多練習。”
這一次，他要寫一個完全不同的故事。
“考試開始。”
講台上，監考的趙建國教授推了推老花鏡，聲音沉穩。他是係裡有名的嚴師，五十多歲，頭發花白但梳得整齊，中山裝熨燙得一絲不苟。
林澈拿起筆。
&n{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$
前世他用了洛必達法則，計算過程中漏了一個係數，得出了$\frac{3}{5}$的錯誤答案。正確答案應該是$\frac{3}{5}$……不，等等。
林澈的筆尖停頓了。
記憶告訴他答案是$\frac{3}{5}$，但直覺在報警。他閉上眼睛，七年前的記憶像老照片一樣在腦中展開——他記得考完對答案時，學霸張濤說第一題是$\frac{3}{5}$，但第二天趙建國講解時，說正確答案是$\frac{3}{5}\cdot\frac{\cos0}{\cos0}$……不對，$\tan5x$在$x\to0$時等價於$5x$，$\sin3x$等價於$3x$，所以——
筆尖落下：$\frac{3}{5}$。
寫完後，林澈盯著那個數字看了三秒。有什麼地方不對勁。他看向窗外，梧桐樹的影子在地上輕輕搖晃。記憶和直覺在打架。
“同學，專心答題。”趙建國的聲音從講台傳來。
林澈收回目光，繼續往下做。
第二題，求導數。$y=\ln(\sqrt{x^2+1}+x$
這道題前世他做對了，但步驟繁瑣。現在他一眼看出可以直接用雙曲函數性質簡化：這其實就是$\operatorname{arsinh}x$的導數，等於$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$。
他在草稿紙上寫下標準解法，然後在旁邊用更小的字寫了一行：“另解：由$y=\operatorname{arsinh}x$直接得。”
第三題，定積分。$\int0^{\pi/2}\frac{\sinx}{1+\cosx}dx$
前世他用了萬能公式代換，算了半頁紙，最後還算錯。現在他看到被積函數可以寫成$\frac{\sinx}{1+\cosx}=\tan\frac{x}{2}$，而$\tan\frac{x}{2}$的原函數是$2\ln|\cos\frac{x}{2}|$。
三十秒，答案：$\ln2$。
做到這裡，林澈的速度明顯超過了教室裡所有人。筆尖劃過紙張的聲音穩定而密集，像精密的機械在運轉。前排的蘇雨薇回頭看了他一眼，眼神裡有點驚訝。
第四題，微分方程。$y""3y"+2y=e^{2x}$
特征方程$r^23r+2=0$，根$r1=1,r2=2$。特解形式應為$Axe^{2x}$，代入得$A=1$。通解$y=C1e^x+C2e^{2x}+xe^{2x}$。
一氣嗬成。
第五題，空間解析幾何。求過點$(1,2,3$且與平麵$x+y+z=1$垂直的直線方程。
方向向量即為平麵法向量$(1,1,1$，直線方程$\frac{x1}{1}=\frac{y2}{1}=\frac{z3}{1}$。
林澈寫完這題時，考試才過去十五分鐘。大部分同學還在做第二題。
他放下筆，活動了一下手腕。窗外的陽光更亮了，照在試卷上有些反光。他側過身，讓陽光避開視線，這個動作引起了趙建國的注意。
教授從講台走下來，皮鞋底敲擊瓷磚地麵的聲音在安靜的教室裡格外清晰。他先是在過道裡慢慢巡視，經過林澈身邊時，目光在幾乎寫滿的試卷上停留了兩秒。
然後又繞回來。
這次他停在林澈桌邊，彎腰看他的答題紙。
林澈能聞到教授身上淡淡的粉筆灰和舊書混合的味道。趙建國看了大概十秒鐘，什麼也沒說，直起身繼續巡視。但林澈注意到，教授走回講台的步伐比剛才快了一些。
&n{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$
&n{n\to\infty}\frac{a{n+1}}{an}=\lim{n\to\infty}\frac{(n+1!}{(n+1^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}=\lim{n\to\infty}\frac{n+1}{n+1}\cdot(\frac{n}{n+1}^n=\frac{1}{e}0$，$g(x$嚴格遞增，$g(1g(0=0$，即$e^{1}f(10$，$f(10$，這有可能成立，不矛盾。
所以不能直接證明。
他閉上眼睛，深呼吸。考場上的空氣混著紙墨和汗水的味道。前世那些熬夜複習的夜晚在腦中浮現——他在圖書館抄過這道題的答案，趙建國在黑板上講過……
構造函數$F(x=e^{x^2}f(x$，然後……然後要用羅爾定理！因為$F(0=0$，還需要另一個零點才能用羅爾定理。但題目隻給了$f(0=0$，沒給$f(1=0$。
除非——
林澈睜開眼睛。
除非$f(1$恰好等於某個值，使得$F(1=F(0$？不對，那太巧合了。
他的目光落在試卷的題號上：“七、證明題（15分）”。記憶的閘門突然打開：前世考完後，趙建國在講解時說：“這道題的關鍵是構造輔助函數$g(x=e^{x^2}f(x$，然後對$g(x$應用柯西中值定理，取另一個函數為$h(x=e^{x^2}$……”
對了！
林澈幾乎要拍桌子。他立刻在草稿紙上寫：
“構造函數$g(x=e^{x^2}f(x$，$h(x=e^{x^2}$。則$g(0=0$，$h(0=1$，且$g(x,h(x$在$[0,1]$上滿足柯西中值定理條件。故存在$\xi\in(0,1$，使得
$\frac{g(1g(0}{h(1h(0}=\frac{g'\xi}{h'\xi}$
即$\frac{e^{1}f(1}{e1}=\frac{e^{\xi^2}[f'\xi2\xif(\xi]}{2\xie^{\xi^2}}$
化簡得$f'\xi2\xif(\xi=\frac{2\xie^{2\xi^21}}{e1}f(1$”
還是不對，右邊仍有$f(1$。
林澈感到額頭滲出細汗。記憶就像隔著一層毛玻璃，能看到輪廓但看不清細節。他確定趙建國講過這道題，確定答案用到了柯西中值定理，但具體怎麼消去$f(1$……
“還有三十分鐘。”趙建國的聲音響起。
教室裡一陣騷動。時間壓力開始顯現。
林澈強迫自己冷靜。他盯著題目，一個字一個字地讀：設函數$f(x$在$[0,1]$上連續，在$(0,1$內可導，且$f(0=0$。
已知條件隻有這些。要證明存在$\xi\in(0,1$，使得$f'\xi=2\xif(\xi$。
這意味著，無論$f(1$是多少，總能找到這樣的$\xi$。
一個想法突然冒出來：如果對任意的$f(1$都能找到$\xi$，那麼特彆地，取$f(1=0$時，由羅爾定理立即得證。但$f(1$不一定為零……
等等，可以構造一個新函數！
林澈的筆尖在紙上疾書：
“考慮函數$\varphi(x=f(x\frac{f(1}{e1}(e^{x^2}1$。則$\varphi(0=0$，$\varphi(1=f(1\frac{f(1}{e1}(e1=0$。
對$\varphi(x$應用羅爾定理，存在$\xi\in(0,1$，使得$\varphi'\xi=0$。
而$\varphi'x=f'x\frac{2xf(1}{e1}e^{x^2}$
故$f'\xi=\frac{2\xif(1}{e1}e^{\xi^2}$
又由$\varphi(\xi=0$得$f(\xi=\frac{f(1}{e1}(e^{\xi^2}1$
兩式消去$f(1$，得$f'\xi=2\xif(\xi$。證畢。”
寫完最後一個**，林澈長長舒了口氣。
他知道這不是標準答案，但邏輯嚴密，自洽。而且，這個解法展現了他對數學工具的靈活運用——構造輔助函數，利用羅爾定理，然後消去參數。
他抬頭看鐘，考試開始四十分鐘。教室裡大部分人還在掙紮，前排的學霸張濤眉頭緊鎖，顯然也被最後一題難住了。蘇雨薇在檢查卷子，但眼神有些飄忽。
林澈開始從頭檢查。
&n{x\to0}\frac{\sin3x}{\tan5x}$。他盯著那個$\frac{3}{5}$，那種不對勁的感覺又來了。他重新計算：$\sin3x\sim3x$，$\tan5x\sim5x$，所以極限是$\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$。
但$\tan5x$在$x\to0$時等價於$5x$嗎？$\tan\theta\sim\theta$當$\theta\to0$，這裡$\theta=5x\to0$，沒錯。
可是……林澈閉上眼睛，前世趙建國講解這道題的聲音在腦中回響：“很多同學直接用了等價無窮小，但要注意，$\tan5x$在$x\to0$時確實是$5x$的高階無窮小嗎？我們嚴格計算一下……”
對了！趙建國當時強調了不能直接用等價無窮小，因為分子分母是加減關係？不，這裡是乘除，可以用。
但教授說：“這道題我特意設計了一個陷阱，$\tan5x$在$x\to0$時等價於$5x$，但$\sin3x$等價於$3x$，所以答案是$\frac{3}{5}$——如果你這麼想，就掉坑裡了。因為$\tan5x=5x+\frac{125}{3}x^3+O(x^5$，展開到三階項會影響結果嗎？我們算一下……”